Determinantentheorie in endlichen Faktoren

Murray und J. v. Neumann klassifizierten Faktoren (d.h. zentrale Ringe von Operatoren) mittels einer relativen Dimensionsfunktion. Sie studierten umfassend diejenigen Faktoren, für die diese Dimensionsfunktion einen endlichen Wertebereich hat (endliche Faktoren), und zeigten, dass diese Faktoren (und nur diese Faktoren) eine 'Spurfunktion' mit den standardmäßigen algebraischen Eigenschaften zulassen. In einem Versuch, eine weitere wichtige algebraische Eigenschaft der Spur zu etablieren, nämlich dass die Spur eines verallgemeinerten nilpotenten Operators null ist, und allgemeiner, dass die Spur eines Operators im konvexen Hüllvolumen seines Spektrums liegt, wurden wir zur Einführung einer Determinantentheorie für endliche Faktoren geleitet. Dieses Papier wird sich hauptsächlich mit der Entwicklung dieser Theorie befassen. Wir möchten anmerken, dass es eine einfache algebraische Angelegenheit ist, zu beweisen, dass die Spur T(N) eines ordentlichen nilpotenten N null ist. Tatsächlich, wenn N' = 0 und E die Projektion auf den Abschluss des Wertebereichs von N ist, dann ist EN = N, sodass (NE)'-' = N'-'E = 0. Dann ist T(N) = T(EN) = T(NE) = 0, durch Induktion über n. Dass die normierte Spur im konvexen Hüllvolumen des Spektrums einer endlich-dimensionalen Matrix liegt, folgt sofort, indem man die Matrix in superdiagonale Form bringt, wobei die normierte Spur als das Schwerpunktszentrum des Spektrums erscheint. Diese Tatsache zusammen mit der in R.O. IV, Kapitel IV, entwickelten Theorie ergibt das gleiche Ergebnis für Operatoren in einem annähernd endlichen Faktor. Darüber hinaus ist es eine unmittelbare Konsequenz des Spektraltheorems, dass die Spur eines normalen Operators in einem beliebigen endlichen Faktor im konvexen Hüllvolumen seines Spektrums liegt. Keine dieser leicht zu beweisenden Fakten ermöglichte es uns, das Ergebnis für beliebige nicht-normale Operatoren in nicht-annähernd endlichen Faktoren zu schließen. Das allgemeine Ergebnis wurde jedoch als Nebenprodukt der Determinantentheorie etabliert. In ?2 definieren wir die Determinante für reguläre Operatoren in einem Faktor vom Typ II1,, und begründen die Eigenschaften dieser Determinante. Der Beweis, dass die Spur im konvexen Hüllvolumen des Spektrums liegt, wird in ?3 als Anwendung der Ergebnisse von ?2 gegeben. Die Eindeutigkeit der Determinante wird in ?4 durch eine algebraische Charakterisierung etabliert. Der letzte Abschnitt, ?5, beginnt mit einer Diskussion über die Normalisierung, die in der Definition der Determinante stattgefunden hat.