Existence and concentration of ground-states for fractional Choquard equation with indefinite potential

This paper is concerned with existence and concentration properties of ground-state solutions to the following fractional Choquard equation with indefinite potential: <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>V</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mfenced open="(" close=")"> <m:mrow> <m:munder> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∫</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:munder> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mi>A</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>ε</m:mi> <m:mi>y</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>y</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>y</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mspace width="-0.25em"/> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mi mathvariant="normal">d</m:mi> <m:mi>y</m:mi> </m:mrow> </m:mfenced> <m:mi>A</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>ε</m:mi> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1em"/> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> </m:math> {(-Δ )}ˢu+V(x)u=({∫ }_{{{R}}N}{A(ε y)| u(y){| }ᵖ}{| x-y{| }μ}{d}y)A(ε x)| u(x){| }ᵖ⁻²u(x),{1em}x∈ {{R}}N, where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>s</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> s∈ (0,1) , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>N</m:mi> <m:mo>></m:mo> <m:mn>2</m:mn> <m:mi>s</m:mi> </m:math> N> 2s , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mn>0</m:mn> <m:mo><</m:mo> <m:mi>μ</m:mi> <m:mo><</m:mo> <m:mn>2</m:mn> <m:mi>s</m:mi> </m:math> 0< μ < 2s , <jats:inline-graphic xmlns:xlink="http://www.w3