En esta nota, estudiamos la fórmula basada en álgebra de Hopf (HAB) de las amplitudes Yang–Mills-escalares (YMS), que expande una amplitud YMS con escalares masivos como una combinación de matrices de propagadores que mezclan escalares sin masa correspondientes a gluones con los escalares masivos originales. Proponemos una fórmula recursiva que expresa convenientemente la fórmula HAB. En esta fórmula, los gluones se convierten en escalares sin masa. Así, expresa una amplitud YMS con escalares masivos por amplitudes con menos gluones, escalares masivos y escalares sin masa. Verificamos esta fórmula utilizando el comportamiento suave de las amplitudes. Además, mostramos la equivalencia entre el límite sin masa de la fórmula HAB y una fórmula de expansión recursiva propuesta anteriormente a través de cálculos explícitos en amplitudes con uno y dos gluones.
Liu et al. (mié,) estudiaron esta cuestión.