Algebraic structure of the neutrino sector in the Conceptual Triptych

EN description: Companion note to TE V5 (Extended Triptych, doi:10.5281/zenodo.19760786). This note presents the exact arithmetic core of the neutrino sector in the Conceptual Triptych, then develops its conjectural consequences. The Mordell elliptic curve y²=x³−2 organises the structure: it selects (N_c,b₁)=(3,5) [T3, exact], structures the exponents of powers of φ in the mass splittings Δm², and organises, through T21, the connection identities between the cosmological ring ℤ[√2] and the fermionic field ℚ(√5). The exact identity u_min×m_ν1=m_DE (I12, exact under C1) directly connects the Pell unit and the dark-energy scale. Under the conjectural assumptions C1–C13 — among which C2 (M_R=v/√2), a working hypothesis not derived in this note — the matrix M_D†M_D/μ² is computed in ℚ(√10) and conjecture C13 suggests δ_PMNS≈196.97° (Δ=0.20% on NuFIT 5.3 central value). The note explicitly separates the exact arithmetic core, identities exact under stated assumptions, and the conjectural block C1–C13 with its falsification conditions. 22 identities and 4 arithmetic theorems are established. All identities are verified by computer algebra (SymPy). Description FR : Note compagnon de TE V5 (Triptyque Étendu, DOI:10.5281/zenodo.19760786). Cette note présente le noyau arithmétique exact du secteur des neutrinos dans le Triptyque Conceptuel, puis développe ses prolongements conjecturaux. La courbe elliptique de Mordell y²=x³−2 organise la structure : elle sélectionne (N_c,b₁)=(3,5) [T3, exact], structure les exposants des puissances de φ dans les écarts de masse Δm², et suggère via T21 les identités de connexion entre le corps cosmologique ℤ[√2] et le corps fermionique ℚ(√5). L’identité exacte u_min×m_ν1=m_DE (I12, exact sous C1) relie directement l’unité de Pell et l’échelle d’énergie sombre. Sous les hypothèses conjecturales C1–C13 — dont C2 (M_R=v/√2), hypothèse de travail non dérivée dans la note — la matrice M_D†M_D/μ² est calculée dans ℚ(√10) et la conjecture C13 suggère δ_PMNS≈196.97° (Δ=0.20% sur NuFIT 5.3). La note sépare explicitement le noyau arithmétique exact, les identités exactes sous hypothèses, et le bloc conjectural C1–C13 avec ses conditions de falsification. 22 identités et 4 théorèmes arithmétiques sont établis. Toutes les identités sont vérifiées par calcul symbolique (SymPy).