Pourquoi la règle de Cox–Merz et la relation miroir de Gleissle fonctionnent : une analyse quantitative utilisant le cadre intégral de Wagner avec un noyau de Maxwell fractionnaire

Dans ce travail, nous dérivons mathématiquement les conditions pour lesquelles des relations rhéométriques empiriques telles que la règle de Cox–Merz et la relation miroir de Gleissle sont satisfaites. Nous considérons le cadre constitutif intégral de Wagner, qui est un cas limite spécial de l'équation constitutive Kaye–Bernstein Kearsley Zapas (K-BKZ) pour en déduire des expressions analytiques pour la viscosité complexe, la viscosité de cisaillement permanent et le coefficient de stress transitoire au démarrage du cisaillement permanent. Nous utilisons un modèle de liquide de Maxwell fractionnaire comme le module de relaxation linéaire ou noyau de mémoire dans un cadre constitutif intégral non linéaire. Cette formulation est particulièrement bien adaptée pour décrire des fluides complexes qui présentent un large spectre de relaxation et peut être facilement réduite au modèle canonique de Maxwell pour décrire des liquides viscoélastiques qui présentent un temps de relaxation dominant unique. Pour incorporer les non-linéarités qui deviennent toujours importantes dans de véritables fluides complexes à de grandes amplitudes de déformation, nous considérons à la fois une fonction d'amortissement exponentielle ainsi qu'une fonction d'amortissement plus générale. En évaluant les expressions analytiques pour le cisaillement oscillatoire à faible amplitude, le cisaillement permanent, et le démarrage du cisaillement permanent en utilisant ces différentes fonctions d'amortissement, nous montrons que ni la règle de Cox–Merz ni la relation miroir de Gleissle ne peuvent être satisfaites pour des matériaux avec un mode de relaxation unique ou un spectre de relaxation étroit. Nous évaluons ensuite les mêmes expressions en utilisant une analyse asymptotique et une intégration numérique directe pour des fluides complexes plus représentatifs ayant une large gamme de temps de relaxation et des réponses non linéaires caractérisées par des fonctions d'amortissement de forme exponentielle ou Soskey–Winter. Nous montrons que pour les matériaux ayant des spectres de relaxation larges et un amortissement suffisamment fort dépendant de la déformation, la règle empirique de Cox–Merz et les relations miroirs de Gleissle sont satisfaites soit exactement, soit dans un facteur numérique constant d'ordre unité. En revanche, ces relations ne sont pas satisfaites dans d'autres classes de matériaux viscoélastiques complexes qui n'exhibent qu'un amortissement dépendant de la déformation faible ou un ramollissement de la déformation.