This article explores the regularity of phase transition interfaces in Allen-Cahn equations, suggesting implications for several mathematical conjectures.
Allen-Cahn 方程是描述相变现象的一个经典模型，其相变界面（由解的水平集例如{u= 0} 表征）的正则性与收敛性是该领域的核心问题. 本文对椭圆情形的Allen-Cahn 方程，系统介绍其相 变界面的零阶、一阶及二阶正则性并讨论这些正则性理论的若干应用. 在零阶正则性方面，我们借 助Γ-收敛理论、变分形理论等，给出相变界面在Hausdorff 距离下的收敛，并明确极限变分形性质； 在一阶正则性方面，我们介绍Allard 型ε-正则性等关于相变界面一致C1,θ 估计的结果；对二阶正 则性，我们讨论反向李雅普诺夫-施密特约化方法的应用、相变界面一致C2,θ 估计及其与Toda 方 程组稳定解之间的联系等. 最后，我们介绍这些正则性理论在De Giorgi 猜想、有限Morse 指标解 的分类、构造黎曼流形中无穷多极小曲面等问题中的应用.
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Wang et al. (2026) studied this question.
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