Surmonter la barrière d'ordre dans l'approximation numérique des équations différentielles partielles stochastiques avec bruit spatial–temporel additif

Nous considérons l'approximation numérique des équations différentielles partielles stochastiques paraboliques pilotées par le bruit blanc spatial–temporel additif. Nous introduisons un nouveau schéma numérique pour la discrétisation temporelle des équations différentielles stochastiques de Galerkin en dimension finie, que nous appelons le schéma d'Euler exponentiel, et montrons qu'il converge (au sens fort) plus rapidement que les schémas numériques classiques, tels que le schéma d'Euler linéaire implicite ou le schéma de Crank–Nicholson, pour cette équation avec le bruit général. En particulier, nous prouvons que notre schéma appliqué à une équation de chaleur stochastique semi-linéaire converge avec un ordre de calcul global de 1/3 qui dépasse l'ordre de barrière de 1/6 pour les schémas numériques utilisant uniquement des incréments basiques du processus de bruit rapportés précédemment. En revanche, notre schéma tire parti de l'effet d'adoucissement de l'opérateur de Laplace et d'une fonctionnelle linéaire du bruit et, par conséquent, surmonte cette barrière d'ordre.