Regularity results for parabolic systems related to a class of non-Newtonian fluids

We consider a class of parabolic systems of the type: u_t-div\, a (x,t,Du)=0 where the vector field a (x,t,F) exhibits non-standard growth conditions. These systems arise when studying certain classes of non-Newtonian fluids such as electrorheological fluids or fluids with viscosity depending on the temperature. For properly defined weak solutions to such systems, we prove various regularity properties: higher integrability, higher differentiability, partial regularity of the spatial gradient, estimates for the (parabolic) Hausdorff dimension of the singular set. Résumé Nous étudions une classe de systèmes paraboliques du type : u_t-div\, a (x,t,Du)=0 où le champ vectoriel a (x,t,F) possède des conditions de croissance non standard. Ces systèmes se présentent dans l’étude de certaines classes de fluides non Newtoniens comme les fluides electro-rhéologiques ou les fluides dont la viscosité dépend de la température. Nous prouvons différentes propriétés de régularité pour des solutions faibles convenables de tels systémes : intégrabilité et différentiabilité améliorées, régularité partielle du gradient spatial et estimations pour la dimension de Hausdorff (parabolique) de l’ensemble des points singuliers.