Square root problem for divergence operators and related topics

We present in this work recent progress on the square root problem of Kato for differential operators in divergence form on R n. We discuss topics on functional calculus, heat and resolvent kernel estimates, square function estimates and Carleson measure estimates for square roots. In the first chapter, we show in a quantitative way how the theorems of Aronson-Nash and of De Giorgi are equivalent. In the central chapters, we take advantage of recent development in functional calculus and in harmonic analysis to propose a new point of view on Kato's problem which allows us to unify previous results and extend them. In the last chapter we study the associated Riesz transforms, their relation to Caldern-Zygmund operators and their behavior on L p -spaces. Rsum (Problme de la racine carre pour les oprateurs sous forme divergence et sujets connexes). -Ce travail a pour thme principal le problme de Kato concernant la racine carre des oprateurs diffrentiels elliptiques sous forme divergence dans R n. Pour mener bien cette tude, nous nous intressons des questions relatives au calcul fonctionnel, aux estimations de noyaux, aux fonctionnelles quadratiques et aux mesures de Carleson associes aux racines carres. Dans le premier chapitre, nous montrons en un sens prcis comment les thormes d'Aronson-Nash et de De Giorgi sont quivalents. Dans les deux chapitres centraux, nous tirons parti de dveloppements rcents sur le calcul fonctionnel et en analyse harmonique pour proposer un nouveau point de vue sur le problme de Kato qui permet d'unifier les rsultats antrieurs et de les gnraliser. Enfin, dans le dernier chapitre, nous tudions les transformes de Riesz associes, leur relation aux oprateurs de Caldern-Zygmund et leur comportement sur les espaces L p. CONTENTSvii B. Coefficients depending on one variable C. Improved constants D. Reduction of dimension principle Bibliography SOCIT MATHMATIQUE DE FRANCE 1998 VL-1/2? More generally, how do HL1/2/^ and ||V/||P compare? In this work we bring new answers to the first two questions and, under a technical hypothesis that the kernel of the semigroup generated by -L has Gaussian upper bounds and regularity, we completely elucidate the third one. Some results were announced in 15. MAXIMAL ACCRETIVE OPERATORS AND FORMS