Dénoseur de gradient Lipschitz monotone : Explicabilité des approches de régularisation d'opérateur sans contrôle de la constante de Lipschitz

Cet article aborde l'explicabilité de l'approche de régularisation d'opérateur grâce à l'utilisation d'un dénoseur de gradient Lipschitz monotone (MoL-Grad) – un opérateur qui peut être exprimé comme le gradient continu de Lipschitz d'une fonction convexe différentiable. Nous prouvons qu'un opérateur est un dénoseur MoL-Grad si et seulement s'il est l'opérateur de proximité « à valeur unique » d'une fonction faiblement convexe. Une extension de la décomposition de Moreau est également montrée par rapport à une fonction faiblement convexe et au conjugué de sa fonction convexifiée. Dans ce cadre, deux algorithmes spécifiques, l'algorithme de séparation avant-arrière et l'algorithme de séparation primal-dual, sont considérés, tous deux utilisant des dénoseurs MoL-Grad. Ces algorithmes génèrent une séquence de vecteurs convergeant faiblement, sous certaines conditions, vers un minimiseur d'une certaine fonction de coût qui implique un « régularisateur implicite » induit par le dénoseur. Contrairement aux études précédentes sur la régularisation d'opérateur, notre cadre ne nécessite aucun contrôle de la constante de Lipschitz pour apprendre le dénoseur. Les résultats théoriques sont soutenus par des simulations.