Zusammenfassung Für die Liouville-Gleichung mit singulären Quellen entsteht die subtilste und herausforderndste Situation, wenn die Quellen quantisiert sind, d.h. wenn jede Dirac-Masse eine Stärke hat, die ein Vielfaches von ist. In diesem Regime können zwei Arten von Blow-up auftreten: einfache und nicht einfache. In diesem Papier konzentrieren wir uns auf den Fall des einfachen Blow-ups und geben vollständige und optimale Schätzungen. Wir beginnen damit, scharfe Schätzungen für ein lokalisiertes Problem in einer Kugel aufzustellen und wenden diese Schätzungen dann auf das Dirichlet-Problem mit mehreren quantisierten Quellen an. Unsere Ergebnisse zeigen, dass die von del Pino, Esposito und Musso verwendeten Bedingungen zum Konstruieren einfacher Blow-up-Lösungen nicht nur ausreichend, sondern auch notwendig sind. Darüber hinaus erhalten wir eine scharfe Schätzung der Gesamtmasse.
Li et al. (Sat,) untersuchten diese Frage.