分支 Itô 公式与自然 Itô-Stratonovich 同构

分支粗糙路径定义为取值于 Connes-Kreimer Hopf 代数 H CK 特征群中的路径，构成了可能不满足常规分部积分恒等式的积分理论。利用 H CK 本原元的已知结果，我们可以将其视为交换余自由 Hopf 代数（即交换 B ∞ -代数），从而为粗糙微分方程的解写出显式的换元公式。在半鞅这一极特殊情况下，该公式可约化为广为人知的 Itô 公式。此外，我们在 H CK 与其本原元上的 shuffle 代数之间建立了同构，该同构推广了拟 shuffle 代数的 Hoffman 指数，因此可被视为半鞅常规 Itô-Stratonovich 修正公式的深远推广。事实上，这可以表述为对任何交换 B ∞ -代数之代数结构的刻画。与以往的方法相比，该变换具有在装饰向量空间中具有自然性这一关键性质。我们通过引入 Kailath-Segall 多项式和 Doléans-Dade 指数的分支类似物，更深入地研究了一维情形，最后给出了随机过程非拟几何分支粗糙路径提升的一些示例。