Fibonacci-Zahlen neu betrachtet: technologiegetriebene Untersuchung einer zweiseitigen Differenzgleichung

Dieser Artikel zeigt, wie innerhalb eines Bildungskontexts, unterstützt von der Idee des versteckten Mathematikcurriculums und verstärkt durch den Einsatz von Technologie, neues mathematisches Wissen entdeckt werden kann. Genauer gesagt, ausgehend von der bekannten Darstellung der Fibonacci-Zahlen durch eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, erkundet dieser Artikel deren zweiseitige Verallgemeinerung mithilfe von Computer-Algebra-Software und einer Tabelle. Kombiniert mit dem Einsatz von Analysis, Matrizenrechnung und fortgesetzten Brüchen ermöglicht dieser technologiegestützte Ansatz eine umfassende Untersuchung des qualitativen Verhaltens der Bahnen, die durch die so verallgemeinerte Differenzgleichung erzeugt werden. Insbesondere wurden Orte in der Parameterebene konstruiert, an denen verschiedene Arten von Verhalten der Zyklen willkürlicher ganzzahliger Perioden, die durch verallgemeinerte Goldene Verhältnisse gebildet werden, realisiert werden. Unerwartete Verbindungen zwischen den analytischen Eigenschaften der Orte, Fibonacci-Zahlen und binomialen Koeffizienten wurden offenbart. Pädagogische, mathematische und epistemologische Fragen, die mit dem vorgeschlagenen Ansatz zum Mathematikunterricht verbunden sind, werden diskutiert.