Eine kurze Übersicht über nichtkommutative Geometrie

Wir geben eine Übersicht über ausgewählte Themen der nichtkommutativen Geometrie, mit einem bestimmten Schwerpunkt auf denjenigen, die direkt mit der Physik zu tun haben, einschließlich unserer aktuellen Arbeiten mit Dirk Kreimer zur Renormierung und dem Riemann–Hilbert-Problem. Wir erörtern ausführlich zwei Fragen. Die erste ist die Relevanz des Paradigmas des geometrischen Raums, das auf spektralen Überlegungen basiert und in der Theorie zentral ist. Als einfache Veranschaulichung der spektralen Formulierung der Geometrie im gewöhnlichen kommutativen Fall geben wir eine polynomielle Gleichung für Geometrien auf der vierdimensionalen Sphäre mit festem Volumen. Die Gleichung beinhaltet ein Idempotentes e, das die Rolle des Instantons spielt, und den Dirac-Operator D. Sie hat die Form 〈(e−12)D,e4〉=γ5 und bestimmt sowohl die Sphäre als auch alle ihre Metriken mit fixierter Volumenform. Die Erwartung 〈x〉 ist die Projektion auf den Kommutanten der Algebra der 4x4-Matrizen. Wir zeigen auch, dass wir, unter Verwendung des nichtkommutativen Analogons der Polyakov-Aktion, wie man die nichtkommutative Metrik (in spektraler Form) auf den nichtkommutativen Toren aus der formalen naiven Metrik erhält. Wir schließen mit einigen Fragen zur Stringtheorie.