Ljusternik–Schnirelmann theory on C¹-manifolds

Let M be a complete Finsler manifold of class C^1 . It is shown that if M contains a compact subset of category k (in M ), then each function f ∈ C¹(M,\:ℝ) which is bounded below and satisfies the Palais–Smale condition must necessarily have k critical points. This should be compared with the known result that f has at least cat( M) critical points provided M is of class C^2 . An application is given to an eigenvalue problem for a quasilinear differential equation involving the p -Laplacian −div(|∇u|ᵖ⁻²∇u) , 1 < p < ∞ . Résumé Soit M une variété de Finsler complète de classe C^1 . On démontre que si M contient un sous-ensemble compacte de catégorie k (dans M ), alors toute fonction f ∈ C¹(M,\:ℝ) qui est bornée inférieurement et satisfait à la condition de Palais–Smale doit nécessairement avoir k point critique. Ce résultat est à rapprocher du théorème connu selon lequel f a au moins cat( M) point critique lorsque M est de classe C^2 . On donne une application à un problème de valeur propre pour une équation différentielle quasi-linéaire faisant intervenir le p -Laplacien −div(|∇u|ᵖ⁻²∇u) , 1 < p < ∞ .