Ljusternik–Schnirelmann theory on C¹-manifolds

Let M be a complete Finsler manifold of class C¹. It is shown that if M contains a compact subset of category k (in M), then each function f C^1 (M, \: ℝ) which is bounded below and satisfies the Palais–Smale condition must necessarily have k critical points. This should be compared with the known result that f has at least cat (M) critical points provided M is of class C². An application is given to an eigenvalue problem for a quasilinear differential equation involving the p -Laplacian −div (|∇u|^p−2∇u), 1 < p < ∞. Résumé Soit M une variété de Finsler complète de classe C¹. On démontre que si M contient un sous-ensemble compacte de catégorie k (dans M), alors toute fonction f C^1 (M, \: ℝ) qui est bornée inférieurement et satisfait à la condition de Palais–Smale doit nécessairement avoir k point critique. Ce résultat est à rapprocher du théorème connu selon lequel f a au moins cat (M) point critique lorsque M est de classe C². On donne une application à un problème de valeur propre pour une équation différentielle quasi-linéaire faisant intervenir le p -Laplacien −div (|∇u|^p−2∇u), 1 < p < ∞.