Modèles quadratiques garantis stables et leurs applications en SINDy et inférence d'opérateurs

L'apprentissage automatique scientifique pour inférer des systèmes dynamiques combine modélisation basée sur les données, modélisation basée sur la physique et connaissances empiriques. Il joue un rôle essentiel dans la conception d'ingénierie et le jumeau numérique. Dans ce travail, nous nous concentrons principalement sur une méthodologie d'inférence d'opérateurs qui construit des modèles dynamiques, de préférence en faibles dimensions, avec une hypothèse préalable sur la structure du modèle, souvent déterminée par la physique connue ou donnée par des experts. Ensuite, pour l'inférence, nous visons à apprendre les opérateurs d'un modèle en mettant en place un problème d'optimisation approprié. L'une des propriétés critiques des systèmes dynamiques est la stabilité. Cependant, cette propriété n'est pas garantie par les modèles inférés. Dans ce travail, nous proposons des formulations d'inférence pour apprendre des modèles quadratiques, qui sont stables par conception. Précisément, nous discutons de la paramétrisation des systèmes quadratiques qui sont localement et globalement stables. De plus, pour les systèmes quadratiques sans point stable mais bornés (par exemple, le modèle chaotique de Lorenz), nous discutons de la manière de paramétrer de tels comportements bornés dans le processus d'apprentissage. En utilisant ces paramétrisations, nous mettons en place des problèmes d'inférence, qui sont ensuite résolus à l'aide d'une méthode d'optimisation par gradient. En outre, pour éviter les dérivées numériques et apprendre encore des systèmes continus, nous utilisons une forme intégrale des équations différentielles. Nous présentons plusieurs exemples numériques, illustrant la préservation de la stabilité et discutant de sa comparaison avec les approches existantes à la pointe de la technologie pour inférer des opérateurs. Grâce à des exemples numériques, nous démontrons également comment les méthodes proposées sont utilisées pour découvrir des équations régissant et des modèles préservant l'énergie.