E = 2 × 1.125 · R² = 2.25R² Abstract This work presents a new constructive geometric framework based on angle trisection and radial interval geometry. The proposed method introduces a geometric transformation between linear intervals and circular geometry, leading to a unified constructive approach to three of the classical problems of ancient geometry: the trisection of an angle, the quadrature of the circle, and the duplication of the cube. The construction begins with a straight line segment that is transformed into a square and subsequently into its equivalent 90° rhombus. The half-diagonal of the rhombus is adopted as the fundamental geometric reference quantity, denoted by R. From this construction, the rhombus area is expressed as E = 2R². The proposed geometric analysis introduces a transformation factor equal to 1.125, obtained through the correspondence between the angular partition of the circle and the linear interval partition generated by the trisection construction. This factor defines the geometric transition from the rhombus to the equivalent circular construction and leads to the area relation E = 2 × 1.125 · R² = 2.25R², or equivalently, E = ΨR², where Ψ = 2.25. Within this framework, the construction determines the radius required to generate a circle geometrically equivalent to the original square (or equivalently, the 90° rhombus) under the proposed interval transformation. The methodology is entirely constructive, relying on geometric relationships established through the construction itself rather than on numerical approximation during the construction process. The paper first presents the proposed geometric framework and its fundamental relations. The complete constructive procedure, geometric derivations, and numerical verifications are then presented step by step, demonstrating the internal consistency of the method and its application to the proposed geometric transformations. Περίληψη (Abstract) Η παρούσα εργασία παρουσιάζει ένα νέο κατασκευαστικό γεωμετρικό πλαίσιο, βασισμένο στην τριχοτόμηση της γωνίας και στην ακτινική διαστηματική γεωμετρία. Η προτεινόμενη μέθοδος εισάγει έναν γεωμετρικό μετασχηματισμό μεταξύ ευθύγραμμων διαστημάτων και κυκλικής γεωμετρίας, οδηγώντας σε μια ενιαία κατασκευαστική προσέγγιση των τριών κλασικών προβλημάτων της αρχαίας γεωμετρίας: της τριχοτόμησης της γωνίας, του τετραγωνισμού του κύκλου και του διπλασιασμού του κύβου. Η κατασκευή ξεκινά από ένα ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο μετασχηματίζεται αρχικά σε τετράγωνο και στη συνέχεια στον ισοδύναμο ρόμβο των 90°. Ως θεμελιώδες γεωμετρικό μέγεθος επιλέγεται η μισή διαγώνιος του ρόμβου, η οποία συμβολίζεται με R. Με βάση αυτήν, το εμβαδόν του ρόμβου εκφράζεται από τη σχέση: E = 2R². Η γεωμετρική ανάλυση της κατασκευής οδηγεί στην εμφάνιση ενός σταθερού συντελεστή μετασχηματισμού ίσου με 1,125, ο οποίος προκύπτει από την αντιστοίχιση της γωνιακής διαίρεσης του κύκλου με τα ισοδιαστήματα που παράγονται μέσω της τριχοτόμησης. Ο συντελεστής αυτός περιγράφει τη γεωμετρική μετάβαση από τον ρόμβο προς την ισοδύναμη κυκλική κατασκευή και οδηγεί στη σχέση: E = 2 × 1,125 · R² = 2,25R². Για λόγους απλούστευσης εισάγεται η νέα γεωμετρική σταθερά Ψ = 2,25, οπότε η σχέση γράφεται: E = ΨR². Η σχέση αυτή επιτρέπει τον προσδιορισμό της ακτίνας που απαιτείται για την κατασκευή κύκλου γεωμετρικά ισοδύναμου με το αρχικό τετράγωνο ή, ισοδύναμα, με τον ρόμβο των 90°, σύμφωνα με τον προτεινόμενο γεωμετρικό μετασχηματισμό. Η εργασία παρουσιάζει αρχικά το νέο γεωμετρικό πλαίσιο και τις βασικές του σχέσεις. Στη συνέχεια αναπτύσσονται αναλυτικά η κατασκευαστική διαδικασία, οι γεωμετρικές αποδείξεις και οι αριθμητικές επαληθεύσεις, με στόχο να τεκμηριωθεί η εσωτερική συνοχή της μεθόδου και η εφαρμογή της στα προτεινόμενα γεωμετρικά προβλήματα.
Chrisovalantis Valadis Avgenikos (Sun,) studied this question.