Entrelaçeurs entre Représentations Induites (avec Applications à la Théorie des Réseaux de Neurones Équivariants)

Les réseaux de neurones convolutionnels équivariants et orientables (G-CNN réguliers et orientables) ont récemment émergé comme une classe de modèles très efficace pour l'apprentissage à partir de données de signal telles que des images 2D et 3D, des vidéos et d'autres données où des symétries sont présentes. En termes géométriques, les G-CNN réguliers représentent les données en termes de champs scalaires ("canaux de caractéristiques"), tandis que les G-CNN orientables peuvent également utiliser des champs vectoriels ou tensoriels ("capsules") pour représenter les données. En termes algébriques, les espaces de caractéristiques dans les G-CNN réguliers se transforment selon une représentation régulière du groupe G, tandis que les espaces de caractéristiques dans les G-CNN orientables se transforment selon les représentations induites plus générales de G. Afin de rendre le réseau équivariant, chaque couche d'un G-CNN doit entrelacer les représentations induites associées à son espace d'entrée et à son espace de sortie. Dans cet article, nous présentons un cadre mathématique général pour les G-CNN sur des espaces homogènes comme l'espace euclidien ou la sphère. Nous montrons, en utilisant des méthodes élémentaires, que les couches d'un réseau équivariant sont convolutionnelles si et seulement si les espaces de caractéristiques d'entrée et de sortie se transforment selon une représentation induite. Ce résultat, qui découle de la théorie abstraite de G.W. Mackey sur les représentations induites, établit les G-CNN comme une classe universelle d'architectures de réseaux équivariants, et généralise le travail récent important de Kondor & Trivedi sur les entrelacs entre représentations régulières.