Remarks on the large time behaviour of a nonlinear diffusion equation

Consider the diffusion equation u_t − Δu = |u|p − 1u (where p > 1 + 2/N and (N − 2) p < N + 2 ) on the space ℝ^N . We prove that either u(t)_∞ blows-up in finite time or u(t)_∞ goes to zero like t−1/(p − 1) as t → +∞ . We give also a new proof to the fact that when u(t) ≧ 0 and 1 < p≦1 + 2/N then u(t)_∞ blows-up in finite time. Sufficient conditions for global existence or blow-up are given, and the case where instead of ℝ^N one has a cone like domain is also studied. Résumé Nous étudions le comportement en temps des solutions de u_t − Δu = |u|p − 1u . Nous montrons que si p > 1 + 2/N et (N − 2) p < N + 2 , ou bien u(t)_∞ explose en temps fini, ou bien u(t)_∞ tend vers zéro comme t−1/(p − 1) lorsque t → ∞ . On donne également une nouvelle démonstration du fait que si 1 < p≦1 + 2/N et u(t) ≧ 0 , alors u(t)_∞ explose en temps fini. Des conditions suffisantes pour l’existence globale (ou l’explosion en temps fini) sont présentées, et le cas où ℝ^N est remplacé par un cône est également étudié.