巡回拡大における篩のスペクトル動態：𝐿関数、カタラン定数、および漸近飽和

本研究では、実軸から複素平面への漸近的モジュラーフィルタリングの解析原理を拡張し、代数整数の環 O𝐾 上の決定論的篩を厳密に構築する。巡回拡大における剰余類のスペクトル動態を調査し、ガウス環 Z𝑖 における探索部分空間の位相が、分岐性質とDedekindゼータ関数の基底多様体構造によって本質的に支配されていることを構成的に示す。Z𝑖 の確率的集合の臨界結合定数が、𝑠=2 におけるスペクトルエントロピー密度の評価から直接導かれる現象として、カタラン定数 𝐺 に依存する幾何学的な再正規化を示すことを解析的に確立した。次数 𝑑 の拡大に対する漸近的節約閾値の概念を導入し、ガウスの素イデアルプリモリアル Π2=⟨3(1+𝑖)⟩ が探索格子の組合せ的発散を制限かつ最小化する最適な動的アトラクターとして機能することを形式的に証明した。最後に、メルセンヌ素数の指数分布における分散の飽和に関する解析的証拠と厳密境界を提供し、漸近状態が低い有効次元性へ安定化することを示した。このスペクトル閉じ込め現象は、代数格子で一般的に用いられる最大エントロピーモデルの基盤にあるエルゴード性仮定(ETH)に挑戦する。数学主題分類 2020: 11R42。キーワード：解析的整数論、𝐿関数、カタラン定数、巡回拡大、漸近分布、算術的量子カオス。