Polynomiell gewichtete Lucas-Summen, Samen-Filter-Endzustandsmodelle und modulare Periodizität

Dieser Artikel liefert eine theorem-sichere polynomielle Erweiterung der Theorie der modularen Periodizität für pseudorandomgewichtete Lucas-Summen, entwickelt in den multiplikativen und affinen Rahmen. Wir untersuchen Gewichte der Form aₙ f (k^n-1) t, wobei f (x) Zx, t 2, und (k, t) = 1 gilt. Die grundlegende Beobachtung ist, dass der Endzustandsmechanismus nicht durch die Gewichtswerte selbst, sondern durch die multiplikative Samen-Orbit sₙ k^n-1 t gesteuert wird. Die polynomielle Gewichtungsfolge wird dann durch Anwendung des Filters f auf diese zyklische Samenorbit erhalten. Diese Samen-Filter-Perspektive hält den Zustandsraum auf der zyklischen Untergruppe, die durch k modulo t erzeugt wird, sodass die prim-niveaudynamik auf dieselbe eindimensionale Samen-Koordinate reduziert wird, die in der multiplikativen Theorie erscheint. Wir beweisen ein bijektives Zustandsraummodell modulo ungerader Primzahlen, reine Periodizität der gewichteten Summen modulo p und die obere Schranke p lcm ( (p), ₏, ₏₎₋ₘ), wobei (p) die Lucas-Periode modulo p und ₏, ₏₎₋ₘ die reduzierte polynomielle Gewichtungsperiode modulo p ist. Anschließend konstruieren wir explizite Kollaps-Familien, für die ₏, ₏₎₋ₘ = 1 gilt, während die Umgebungs-Samenperiode ordₜ (k) beliebig groß ist; dies zeigt, dass das Nichtvorhandensein von unteren Schrankenphänomenen für polynomielle Filter weiterhin besteht. Für den monomialen Fall f (x) = xᵐ beweisen wir die exakte Formel ₏⋒, ₏₎₋ₘ = ord₏⋒ (kᵐ) = ord₏⋒ (k) / (m, ord₏⋒ (k)) für jedes r 1. Schließlich isolieren wir die allgemeinen Primpotenzteilerbeziehungen, die für beliebige polynomielle Filter gültig bleiben, und erklären genau, wo exakte Hebungsgesetze vom Filter abhängen. Der Artikel ist so geschrieben, dass jede theoremspezifische Aussage vor der Verwendung definiert und vollständig bewiesen wird und nicht auf zirkulärer Terminologie beruht.