Scaling results for charged sectors of near conformal QCD

We provide the leading near conformal corrections on a cylinder to the scaling dimension of the lowest-lying fixed isospin charge <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><a:mi>Q</a:mi></a:math> operators defined at the lower boundary of the quantum chromodynamics conformal window, <c:math xmlns:c="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><c:mrow><c:msub><c:mrow><c:mover accent="true"><c:mrow><c:mi mathvariant="normal">Δ</c:mi></c:mrow><c:mrow><c:mo stretchy="false">˜</c:mo></c:mrow></c:mover></c:mrow><c:mrow><c:mi>Q</c:mi></c:mrow></c:msub><c:mo>=</c:mo><c:msubsup><c:mrow><c:mover accent="true"><c:mrow><c:mi mathvariant="normal">Δ</c:mi></c:mrow><c:mrow><c:mo stretchy="false">˜</c:mo></c:mrow></c:mover></c:mrow><c:mrow><c:mi>Q</c:mi></c:mrow><c:mrow><c:mo>*</c:mo></c:mrow></c:msubsup><c:mo>+</c:mo><c:msup><c:mrow><c:mo stretchy="false">(</c:mo><c:mfrac><c:mrow><c:msub><c:mrow><c:mi>m</c:mi></c:mrow><c:mrow><c:mi>σ</c:mi></c:mrow></c:msub></c:mrow><c:mrow><c:mn>4</c:mn><c:mi>π</c:mi><c:mi>ν</c:mi></c:mrow></c:mfrac><c:mo stretchy="false">)</c:mo></c:mrow><c:mrow><c:mn>2</c:mn></c:mrow></c:msup><c:msup><c:mrow><c:mi>Q</c:mi></c:mrow><c:mrow><c:mfrac><c:mrow><c:mi mathvariant="normal">Δ</c:mi></c:mrow><c:mrow><c:mn>3</c:mn></c:mrow></c:mfrac></c:mrow></c:msup><c:msub><c:mrow><c:mi>B</c:mi></c:mrow><c:mrow><c:mn>1</c:mn></c:mrow></c:msub><c:mo>+</c:mo><c:msup><c:mrow><c:mo stretchy="false">(</c:mo><c:mfrac><c:mrow><c:msub><c:mrow><c:mi>m</c:mi></c:mrow><c:mrow><c:mi>π</c:mi></c:mrow></c:msub><c:mo stretchy="false">(</c:mo><c:mi>θ</c:mi><c:mo stretchy="false">)</c:mo></c:mrow><c:mrow><c:mn>4</c:mn><c:mi>π</c:mi><c:mi>ν</c:mi></c:mrow></c:mfrac><c:mo stretchy="false">)</c:mo></c:mrow><c:mrow><c:mn>4</c:mn></c:mrow></c:msup><c:msup><c:mrow><c:mi>Q</c:mi></c:mrow><c:mrow><c:mfrac><c:mrow><c:mn>2</c:mn></c:mrow><c:mrow><c:mn>3</c:mn></c:mrow></c:mfrac><c:mo stretchy="false">(</c:mo><c:mn>1</c:mn><c:mo>−</c:mo><c:mi>γ</c:mi><c:mo stretchy="false">)</c:mo></c:mrow></c:msup><c:msub><c:mrow><c:mi>B</c:mi></c:mrow><c:mrow><c:mn>2</c:mn></c:mrow></c:msub><c:mo>+</c:mo><c:mi mathvariant="script">O</c:mi><c:mrow><c:mo stretchy="false">(</c:mo><c:msubsup><c:mrow><c:mi>m</c:mi></c:mrow><c:mrow><c:mi>σ</c:mi></c:mrow><c:mrow><c:mn>4</c:mn></c:mrow></c:msubsup><c:mo>,</c:mo><c:msubsup><c:mrow><c:mi>m</c:mi></c:mrow><c:mrow><c:mi>π</c:mi></c:mrow><c:mrow><c:mn>8</c:mn></c:mrow></c:msubsup><c:mo>,</c:mo><c:msubsup><c:mrow><c:mi>m</c:mi></c:mrow><c:mrow><c:mi>σ</c:mi></c:mrow><c:mrow><c:mn>2</c:mn></c:mrow></c:msubsup><c:msubsup><c:mrow><c:mi>m</c:mi></c:mrow><c:mrow><c:mi>π</c:mi></c:mrow><c:mrow><c:mn>4</c:mn></c:mrow></c:msubsup><c:mo stretchy="false">)</c:mo></c:mrow><c:mo>.</c:mo></c:mrow></c:math> Here, <w:math xmlns:w="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><w:mrow><w:msub><w:mrow><w:mover accent="true"><w:mrow><w:mi mathvariant="normal">Δ</w:mi></w:mrow><w:mrow><w:mo stretchy="false">˜</w:mo></w:mrow></w:mover></w:mrow><w:mrow><w:mi>Q</w:mi></w:mrow></w:msub><w:mo>/</w:mo><w:mi>r</w:mi></w:mrow></w:math> is the classical ground state energy of the theory on <bb:math xmlns:bb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><bb:mi mathvariant="double-struck">R</bb:mi><bb:mo>×</bb:mo><bb:msubsup><bb:mi>S</bb:mi><bb:mi>r</bb:mi><bb:mn>3</bb:mn></bb:msubsup></bb:math> at fixed isospin charge while <eb:math xmlns:eb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><eb:mrow><eb:msubsup><eb:mrow><eb:mover accent="true"><eb:mrow><eb:mi mathvariant="normal">Δ</eb:mi></eb:mrow><eb:mrow><eb:mo stretchy="false">˜</eb:mo></eb:mrow></eb:mover></eb:mrow><eb:mrow><eb:mi>Q</eb:mi></eb:mrow><eb:mrow><eb:mo>*</eb:mo></eb:mrow></eb:msubsup></eb:mrow></eb:math> is the scaling dimension at the leading order in the large charge expansion. In the conformal limit <jb:math xmlns:jb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><jb:msub><jb:mi>m</jb:mi><jb:mi>σ</jb:mi></jb:msub><jb:mo>=</jb:mo><jb:msub><jb:mi>m</jb:mi><jb:mi>π</jb:mi></jb:msub><jb:mo>=</jb:mo><jb:mn>0</jb:mn></jb:math>, the state-operator correspondence implies <lb:math xmlns:lb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><lb:mrow><lb:msub><lb:mrow><lb:mover accent="true"><lb:mrow><lb:mi mathvariant="normal">Δ</lb:mi></lb:mrow><lb:mrow><lb:mo stretchy="false">˜</lb:mo></lb:mrow></lb:mover></lb:mrow><lb:mrow><lb:mi>Q</lb:mi></lb:mrow></lb:msub><lb:mo>=</lb:mo><lb:msubsup><lb:mrow><lb:mover accent="true"><lb:mrow><lb:mi mathvariant="normal">Δ</lb:mi></lb:mrow><lb:mrow><lb:mo stretchy="false">˜</lb:mo></lb:mrow></lb:mover></lb:mrow><lb:mrow><lb:mi>Q</lb:mi></lb:mrow><lb:mrow><lb:mo>*</lb:mo></lb:mrow></lb:msubsup></lb:mrow></lb:math>. The near-conformal corrections are expressed in powers of the dilaton and pion masses in units of the chiral symmetry breaking scale <tb:math xmlns:tb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><tb:mn>4</tb:mn><tb:mi>π</tb:mi><tb:mi>ν</tb:mi></tb:math> with the <vb:math xmlns:vb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><vb:mi>θ</vb:mi></vb:math>-angle dependence encoded directly in the pion mass. The characteristic <xb:math xmlns:xb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><xb:mi>Q</xb:mi></xb:math>-scaling is dictated by the quark mass operator anomalous dimension <zb:math xmlns:zb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><zb:mi>γ</zb:mi></zb:math> and the one characterizing the dilaton potential <bc:math xmlns:bc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><bc:mi mathvariant="normal">Δ</bc:mi></bc:math>. The coefficients <ec:math xmlns:ec="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><ec:msub><ec:mi>B</ec:mi><ec:mi>i</ec:mi></ec:msub></ec:math> with <gc:math xmlns:gc="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><gc:mrow><gc:mi>i</gc:mi><gc:mo>=</gc:mo><gc:mn>1</gc:mn><gc:mo>,</gc:mo><gc:mn>2</gc:mn></gc:mrow></gc:math> depend on the geometry of the cylinder and properties of the nearby conformal field theory. Published by the American Physical Society 2024