Scalar curvature along Ebin geodesics

Let 𝑀 be a smooth, compact manifold and let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mi mathvariant="script">N</m:mi> <m:mi>μ</m:mi> </m:msub> </m:math> Nμ denote the set of Riemannian metrics on 𝑀 with smooth volume density 𝜇. For <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>g</m:mi> <m:mn>0</m:mn> </m:msub> <m:mo>∈</m:mo> <m:msub> <m:mi mathvariant="script">N</m:mi> <m:mi>μ</m:mi> </m:msub> </m:mrow> </m:math> g₀∈{Nμ} , we show that if <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo rspace="0em">dim</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>M</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>5</m:mn> </m:mrow> </m:math> (M)≥ 5 , then there exists an open and dense subset <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi mathvariant="script">Y</m:mi> <m:msub> <m:mi>g</m:mi> <m:mn>0</m:mn> </m:msub> </m:msub> <m:mo>⊂</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>T</m:mi> <m:msub> <m:mi>g</m:mi> <m:mn>0</m:mn> </m:msub> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi mathvariant="script">N</m:mi> <m:mi>μ</m:mi> </m:msub> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {Y_{g₀}}⊂ T_{g₀}{Nμ} (in the <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msup> <m:mi>C</m:mi> <m:mi mathvariant="normal">∞</m:mi> </m:msup> </m:math> C∞ topology) so that, for each <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>h</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:msub> <m:mi mathvariant="script">Y</m:mi> <m:msub> <m:mi>g</m:mi> <m:mn>0</m:mn> </m:msub> </m:msub> </m:mrow> </m:math> h∈{Y_{g₀}} , the <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:msub> <m:mi mathvariant="script">N</m:mi> <m:mi>μ</m:mi> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:msup> <m:mi>L</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msup> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:math> ({Nμ},L²) Ebin geodesic <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>γ</m:mi> <m:mi>h</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>t</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> γₕ(t) with <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>γ</m:mi> <m:mi>h</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:msub> <m:mi>g</m:mi> <m:mn>0</m:mn> </m:msub> </m:mrow> </m:math> γₕ(0)=g₀ and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mi>γ</m:mi> <m:mi>h</m:mi> <m:mo>′</m:mo> </m:msubsup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mi>h</m:mi> </m:mrow> </m:math> γₕ^{}(0)=h satisfies <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mo>lim</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> <m:mo stretchy="false">→</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">∞</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mrow> <m:mi>R</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>γ</m:mi> <m:mi>h</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>t</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">∞</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> limt→∞R(γₕ(t))=-∞ , uniformly, where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>R</m:mi> <m:mo lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mi mathvariant="script">N</m:mi> <m:mi>μ</m:mi> </m:msub> <m:mo stretchy="false">→</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>C</m:mi> <m:mi mathvariant="normal">∞</m:mi> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>M</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> Rμ→ C∞(M) is the scalar curvature.