Normalized solutions for a critical fractional Choquard equation with a nonlocal perturbation

In this article, we study the fractional critical Choquard equation with a nonlocal perturbation: <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mi mathvariant="italic">Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mi>λ</m:mi> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>α</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>I</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>*</m:mo> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:msub> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>I</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>*</m:mo> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:msub> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>*</m:mo> </m:mrow> </m:msubsup> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>*</m:mo> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1em"/> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mtext>in</m:mtext> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mspace width="0.33em"/> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:math> {(-{Δ })}ˢu=λ u+α ({I}_{{μ }*}{-0.25em}{| u| }q){| u| }q-2u+({I}_{{μ }*}{-0.25em}{| u| }^{{2}μ ,s*}){| u| }^{{2}μ ,s*-2}u,{1em}{0.1em}in{0.1em}{0.33em}{{R}}N, having prescribed mass <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mrow> <m:munder> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∫</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:munder> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi mathvariant="normal">d</m:mi> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>c</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:math> {∫ }_{{{R}}N}{u}²{