Boundedness and finite-time blow-up for the chemotaxis system with indirect signal production and flux limitation

In this work, we consider a flux-limited chemotaxis model with indirect signal production and nonlinear diffusion, <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <m:mfenced close="" open="{"> <m:mrow> <m:mtable class="cases"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>=</m:mo> <m:mi>∇</m:mi> <m:mo>⋅</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>D</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>∇</m:mi> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>∇</m:mi> <m:mo>⋅</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mi>f</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>∇</m:mi> <m:mi>v</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>∇</m:mi> <m:mi>v</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>k</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>k</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>w</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1em"/> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace class="nbsp" width="0.3333em"/> <m:mi>t</m:mi> <m:mo>></m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>=</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> <m:mi>v</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>μ</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>w</m:mi> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace class="nbsp" width="0.3333em"/> <m:mi>t</m:mi> <m:mo>></m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>w</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>=</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> <m:mi>w</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>w</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace class="nbsp" width="0.3333em"/> <m:mi>t</m:mi> <m:mo>></m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mtd> </m:mtr> </m:mtable> </m:mrow> </m:mfenced> </m:math> $${cases}ₜ=∇ · (D(u)∇ u)-∇ · (uf( ∇ v{ }²)∇ v)-{k}₁u+{k}₂w,