The Nehari manifold method for a class of logistic equations with sign-changing weights and an interior interface-type boundary condition

This paper investigates the existence of solutions for the following class of coupled systems of partial differential equations with an interface condition <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>{</m:mo> <m:mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" rowspacing="0pt"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="right"> <m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> </m:mrow> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mi/> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>λ</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>a</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>b</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>p</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd/> <m:mtd columnalign="right"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mtext>in </m:mtext> <m:msub> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="right"> <m:mrow> <m:msub> <m:mo>∂</m:mo> <m:mi>ν</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁡</m:mo> <m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mi/> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mi>γ</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> <m:mo>-</m:mo> <m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd/> <m:mtd columnalign="right"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mtext>on </m:mtext> <m:mi mathvariant="normal">Σ</m:mi> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="right"> <m:mrow> <m:msub> <m:mo>∂</m:mo> <m:mi>η</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁡</m:mo> <m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mi/> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd/> <m:mtd columnalign="right"> <m:mrow> <m:mtext>on </m:mtext> <m:mi mathvariant="normal">Γ</m:mi> <m:mtext>,</m:mtext> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> </m:mtable> </m:mrow> </m:math> \{{aligned} {}{-}Δ uᵢ&