On a weakly coupled time-harmonic Maxwell system in R3R³

In this paper, we consider the following nonlinear time-harmonic Maxwell system <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mfenced open="{" close=""> <m:mrow> <m:mtable class="aligned"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="right"> <m:mi>∇</m:mi> <m:mo>×</m:mo> <m:mi>∇</m:mi> <m:mo>×</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>E</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>−</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>V</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>E</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>=</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>E</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>E</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>+</m:mo> <m:mn>2</m:mn> <m:mi>λ</m:mi> <m:mi>β</m:mi> <m:mi>K</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>E</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>α</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>E</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>β</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>E</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mtext> </m:mtext> <m:mtext>in</m:mtext> <m:mtext> </m:mtext> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>3</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="right"> <m:mi>∇</m:mi> <m:mo>×</m:mo> <m:mi>∇</m:mi> <m:mo>×</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>E</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>−</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>V</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:msub> <m:mrow>