Bootstrap adaptive estimation: The trimmed-mean example

We consider the problem of choosing among a class of possible estimators by selecting the estimator with the smallest bootstrap estimate of finite sample variance. This is an alternative to using cross-validation to choose an estimator adaptively. The problem of a confidence interval based on such an adaptive estimator is considered. We illustrate the ideas by applying the method to the problem of choosing the trimming proportion of an adaptive trimmed mean. It is shown that a bootstrap adaptive trimmed mean is asymptotically normal with an asymptotic variance equal to the smallest among trimmed means. The asymptotic coverage probability of a bootstrap confidence interval based on such adaptive estimators is shown to have the nominal level. The intervals based on the asymptotic normality of the estimator share the same asymptotic result, but have poor small-sample properties compared to the bootstrap intervals. A small-sample simulation demonstrates that bootstrap adaptive trimmed means adapt themselves rather well even for samples of size 10. Nous étudions le problème du choix d'un estimateur parmi une classe en sélectionnant celui qui a la plus petite estimation bootstrap de la variance d'échantillon fini. Ceci est une alternative à l'utilisation de la validation croisée pour un choix adaptatif d'estimateur. On considère le problème de la construction d'intervalles de confiance pour de tels estimateurs adaptables. Les idées sont illustrées en appliquant la méthode au problème du choix de la proportion de troncature d'une moyenne tronquée adaptative. Il est démontré qu'une moyenne tronquée adaptative bootstrap est asymptotiquement normale avec une variance asymptotique égale à la plus petite parmi celles des moyennes tronquées. La probabilité de couverture asymptotique d'un intervalle de confiance bootstrap basé sur de tels estimateurs adaptables est égale à la probabilité prescrite. Les intervalles basés sur la normalité asymptotique ont la même propriété, mais ils ont une bien plus faible performance que les intervalles bootstrap dans le cas de petits échantillons. Les résultats d'une simulation démontrent que les moyennes tronquées adaptatives bootstrap s'adaptent très bien, même pour des échantillons de taille 10.