P2 – Canonical Topology of Indexed Internal Trajectories

This Zenodo record publishes the autonomous canonical revision of Problem P2 of Informational Physics. P2 establishes the canonical topology of indexed internal trajectories, defining rigorous criteria of equivalence, similarity, and classification for trajectories Rₓ(τ) or Rₓ(s) associated with an internal system x. In its revised form, the problem supersedes the previous historical formulation, “Topology of the trajectories R(t)”, and adopts the domain-consistent notation required by the current Corpus of Informational Physics. The canonical revision of P2 explicitly separates the cosmological CMDE domain, where the notation z(t) remains reserved for the informational redshift metric, from non-cosmological internal domains, where trajectories must be expressed through indexed quantities and an explicitly declared internal parameter. The internal trajectory is therefore not treated as a cosmological function, but as a topological-operational object associated with the coherence, reflective continuity, and traceability of the system x. The study defines the space of admissible internal trajectories, the relation of internal topological equivalence, the topological signature Σ(Rₓ), the topological-morphological signature vector I_T(Rₓ), the informational topological distance d_T, and the similarity function sim_T. The distance d_T is qualified as a pseudometric on raw representatives and as an operational metric on the quotient space of trajectories when non-informative transformations are identified and the selected components satisfy the required metric conditions. The revision also introduces a formal distinction between strong topological invariants, such as robust critical structure, monotonicity word, merge tree, and persistence diagrams, and normalized morphological descriptors, such as plateau ratio, burst index, density of monotonicity changes, recurrence entropy, and total variation. The latter acquire the status of operational invariants only with respect to the declared protocol, normalization, thresholds, and class of admissible reparametrizations. On this basis, P2 defines five canonical topological families of internal trajectories: F₁ coherent monotonic, F₂ finitely critical or extended-unimodal, F₃ recurrent oscillatory, F₄ multistable plateau-based, and F₅ burst-critical or intermittent. The previous labels R₁-R₅ remain admissible only as historical or didactic denominations, while the canonical notation F₁-F₅ is preferred in order to avoid ambiguity with the quantity Rₓ. This publication presents the updated canonical formulation of P2 as an autonomous, self-contained, and traceable revision. It is not a simple new version of the previous cumulative record devoted to the first problems of the series, but a separate record dedicated exclusively to the revised and canonically closed formulation of P2. The deposit includes six PDF files: 1. Main resolution of P2, Italian version. 2. Main resolution of P2, English version. 3. Integrative commentary on P2, Italian version. 4. Integrative commentary on P2, English version. 5. Extended technical appendix on P2, Italian version. 6. Extended technical appendix on P2, English version. The study belongs to the series Advanced Research Studies on Informational Physics and is connected to the foundational corpus of Informational Physics, in particular to CMDE 4.1, the Pre-Universal Treatise on the Six Laws, the RT Treatise on Universal Consciousness and internal trajectories, and the canonical revision of Problem P1, which establishes the general relation dRₓ = κₓ(τ) Φₓ(τ) dzₓ. --- Questo record Zenodo pubblica la revisione canonica autonoma del Problema P2 della Fisica Informazionale. P2 stabilisce la topologia canonica delle traiettorie interne indicizzate, definendo criteri rigorosi di equivalenza, similarità e classificazione delle traiettorie Rₓ(τ) o Rₓ(s) associate a un sistema interno x. Nella sua forma revisionata, il problema supera la precedente formulazione storica “Topologia delle traiettorie R(t)” e adotta la notazione coerente con i domini richiesta dal Corpus attuale della Fisica Informazionale. La revisione canonica del P2 separa esplicitamente il dominio cosmologico CMDE, nel quale la notazione z(t) resta riservata alla metrica informazionale del redshift, dai domini interni non cosmologici, nei quali le traiettorie devono essere espresse mediante grandezze indicizzate e un parametro interno esplicitamente dichiarato. La traiettoria interna non viene quindi trattata come funzione cosmologica, ma come oggetto topologico-operativo associato alla coerenza, alla continuità riflessiva e alla tracciabilità del sistema x. Lo studio definisce lo spazio delle traiettorie interne ammissibili, la relazione di equivalenza topologica interna, la firma topologica Σ(Rₓ), il vettore di firma topologico-morfologica I_T(Rₓ), la distanza informazionale topologica d_T e la funzione di similarità sim_T. La distanza d_T viene qualificata come pseudometrica sui rappresentanti grezzi e come metrica operativa sullo spazio quoziente delle traiettorie quando le trasformazioni non informative sono identificate e quando le componenti selezionate soddisfano le condizioni metriche richieste. La revisione introduce inoltre una distinzione formale tra invarianti topologici forti, come struttura critica robusta, parola di monotonia, merge tree e diagrammi di persistenza, e descrittori morfologici normalizzati, come plateau ratio, burst index, densità dei cambi di monotonia, entropia di ricorrenza e variazione totale. Questi ultimi assumono statuto di invarianti operativi solo rispetto al protocollo, alla normalizzazione, alle soglie e alla classe di riparametrizzazioni ammissibili dichiarate. Sulla base di tale impianto, il P2 definisce cinque famiglie topologiche canoniche di traiettorie interne: F₁ monotona coerente, F₂ finitamente critica o unimodale-estesa, F₃ oscillatoria ricorrente, F₄ multistabile a plateau, F₅ burst-critica o intermittente. Le precedenti etichette R₁-R₅ restano ammissibili solo come denominazioni storiche o didattiche, mentre la notazione canonica F₁-F₅ è preferibile per evitare ambiguità con la grandezza Rₓ. Questa pubblicazione presenta la formulazione canonica aggiornata del P2 come revisione autonoma, autosufficiente e tracciata. Non costituisce una semplice nuova versione del precedente record cumulativo dedicato ai primi problemi della serie, ma un record separato dedicato esclusivamente alla formulazione revisionata e canonicamente chiusa del P2. Il deposito comprende sei file PDF: 1. Risoluzione principale del P2, versione italiana. 2. Risoluzione principale del P2, versione inglese. 3. Commentario integrativo del P2, versione italiana. 4. Commentario integrativo del P2, versione inglese. 5. Appendice tecnica estesa del P2, versione italiana. 6. Appendice tecnica estesa del P2, versione inglese. Lo studio appartiene alla serie degli Studi Avanzati di Ricerca sulla Fisica Informazionale ed è collegato al corpus fondativo della Fisica Informazionale, in particolare alla CMDE 4.1, al Trattato delle Sei Leggi Pre-Universali, al Trattato RT sulla Coscienza Universale e sulle traiettorie interne, e alla revisione canonica del Problema P1, che stabilisce la relazione generale dRₓ = κₓ(τ) Φₓ(τ) dzₓ.