Nonexistence for the nonlinear nonlocal fractional elliptic system in the whole space

This paper is devoted to the study the following nonlinear fractional elliptic system: <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <a:mrow> <a:mo>{</a:mo> <a:mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <a:mtr> <a:mtd> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mo> − </a:mo> <a:mi mathvariant="normal"> Δ </a:mi> <a:msup> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mfrac> <a:mi> α </a:mi> <a:mn>2</a:mn> </a:mfrac> </a:mrow> </a:msup> <a:mi>u</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo>=</a:mo> <a:msub> <a:mi>h</a:mi> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mn>1</a:mn> </a:mrow> </a:msub> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo>,</a:mo> <a:mi>u</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo>,</a:mo> <a:mi>v</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo>,</a:mo> </a:mtd> </a:mtr> <a:mtr> <a:mtd> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mo> − </a:mo> <a:mi mathvariant="normal"> Δ </a:mi> <a:msup> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mfrac> <a:mi> β </a:mi> <a:mn>2</a:mn> </a:mfrac> </a:mrow> </a:msup> <a:mi>v</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo>=</a:mo> <a:msub> <a:mi>h</a:mi> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mn>2</a:mn> </a:mrow> </a:msub> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo>,</a:mo> <a:mi>u</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo>,</a:mo> <a:mi>v</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo>,</a:mo> </a:mtd> </a:mtr> </a:mtable> <a:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"/> </a:mrow> </a:math> where <jb:math xmlns:jb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <jb:mn>0</jb:mn> <jb:mo><</jb:mo> <jb:mi> α </jb:mi> <jb:mo>,</jb:mo> <jb:mi> β </jb:mi> <jb:mo><</jb:mo> <jb:mn>2</jb:mn> </jb:math> , <kb:math xmlns:kb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <kb:mi>n</kb:mi> <kb:mo> ≥ </kb:mo> <kb:mn>2</kb:mn> </kb:math> and <lb:math xmlns:lb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <lb:msub> <lb:mi>h</lb:mi> <lb:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <lb:mn>1</lb:mn> </lb:mrow> </lb:msub> <lb:mo>,</lb:mo> <lb:msub> <lb:mi>h</lb:mi> <lb:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <lb:mn>2</lb:mn> </lb:mrow> </lb:msub> </lb:math> satisfy suitable assumptions. We employ the method of scaling spheres to establish the nonexistence of nonnegative solutions for this fractional elliptic system in the entire space <ob:math xmlns:ob="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <ob:msup> <ob:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <ob:mi mathvariant="double-struck">R</ob:mi> </ob:mrow> <ob:mi>n</ob:mi> </ob:msup> </ob:math> . Furthermore, we show that analogous results can be extended for higher order fractional problems.