Multiple solutions for a nonhomogeneous quasilinear sub-elliptic system with critical growth and logarithmic perturbation

The interest of this paper is that we use the critical point theory to prove the existence of a sequence of non-trivial solutions for a class of nonhomogeneous quasilinear Sub-elliptic systems with critical growth and logarithmic perturbation. More specially, we consider the following nonhomogeneous quasilinear Sub-elliptic system <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <m:mfenced close="" open="{"> <m:mrow> <m:mtable class="cases"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mo>−</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="script">L</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>ϕ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>H</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mi>log</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>+</m:mo> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mi>α</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>α</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>β</m:mi> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>α</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>v</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>β</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mi>ξ</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mo>−</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="script">L</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>ϕ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>H</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>v</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>v</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>v</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mi>log</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>v</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>+</m:mo> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mi>β</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>α</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>β</m:mi> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>α</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>v</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>β</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>v</m:mi> <m:mo>,</m:mo>