The critical Schrödinger–Poisson system involving ( p , q )-Laplacian on the Heisenberg group

This paper is committed to the existence of multiple solutions for the critical Schrödinger–Poisson system involving ( p , q )-Laplacian on the Heisenberg group: <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <m:mfenced close="" open="{"> <m:mrow> <m:mtable class="cases"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mo>−</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>H</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>H</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>q</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mi>β</m:mi> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>r</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>μ</m:mi> <m:mfenced close=")" open="("> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mo>∫</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>η</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>*</m:mo> </m:mrow> </m:msubsup> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>η</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>ξ</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mi mathvariant="normal">d</m:mi> <m:mi>η</m:mi> </m:mrow> </m:mfenced> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>*</m:mo> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mtext>in</m:mtext> <m:mspace width="0.3333em"/> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mo>−</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>H</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>ϕ</m:mi>