Some remarks on quasi-variational inequalities and the associated impulsive control problem

We study Quasi-Variational Inequalities: {1} {cases} Max(Au−f,u−Mu) = 0, \\ u∂Ω = φ , {cases} where {2} Mu = k + inf _{{ξ ≧0}{x + ξ ∈ \:Ω̄}} \{c₀(ξ ) + u(x + ξ )\}. In general, (1) has no solution, we prove here that (1) has a unique maximum subsolution that we caracterize. Then we compare the implicit obstacle (2) and the obstacle: #1{inf#1*{-8pt}ess} M_+ u = k + {{ξ ≧0}{x + ξ ∈ \:Ω}} \{c₀(ξ ) + u(x + ξ )\} and we finally show that, under general assumptions, the solution of (1) is Holder continuous. Résumé Nous étudions les Inéquations Quasi-Variationnelles : {1} {cases} Max(Au−f,u−Mu) = 0 &dans\:Ω \\ u∂Ω = φ , {cases} où {2} Mu = k + inf _{{ξ ≧0}{x + ξ ∈ \:Ω̄}} \{c₀(ξ ) + u(x + ξ )\}. En général (1) n’a pas de solution, nous montrons ici que (1) admet une unique sous-solution maximale que nous caractérisons. Nous comparons ensuite l’obstacle implicite (2) et l’obstacle : #1{inf#1*{-8pt}ess} M_+ u = k + {{ξ ≧0}{x + ξ ∈ \:Ω}} \{c₀(ξ ) + u(x + ξ )\} et nous finissons par montrer que, sous des hypothèses générales, la solution de (1) est hölderienne.