Second order neutral delay differential equations and their oscillatory criteria derived by linearization

In this paper, we investigate the oscillatory behavior of second-order neutral delay differential equations with a canonical operator of the form <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <a:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <a:mtr> <a:mtd> <a:msup> <a:mrow> <a:mo>(</a:mo> <a:mrow> <a:mi>a</a:mi> <a:mrow> <a:mo>(</a:mo> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi>x</a:mi> </a:mrow> <a:mo>)</a:mo> </a:mrow> <a:msup> <a:mrow> <a:mo>(</a:mo> <a:mrow> <a:msup> <a:mi>v</a:mi> <a:mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">′</a:mi> </a:msup> <a:mrow> <a:mo>(</a:mo> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi>x</a:mi> </a:mrow> <a:mo>)</a:mo> </a:mrow> </a:mrow> <a:mo>)</a:mo> </a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi>m</a:mi> </a:mrow> </a:msup> </a:mrow> <a:mo>)</a:mo> </a:mrow> <a:mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">′</a:mi> </a:msup> <a:mo>+</a:mo> <a:mi>C</a:mi> <a:mrow> <a:mo>(</a:mo> <a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi>x</a:mi> </a:mrow> <a:mo>,</a:mo> <a:mi>u</a:mi> <a:mrow> <a:mo>(</a:mo> <a:mrow> <a:mi>φ</a:mi> <a:mrow> <a:mo>(</a:mo> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi>x</a:mi> </a:mrow> <a:mo>)</a:mo> </a:mrow> </a:mrow> <a:mo>)</a:mo> </a:mrow> </a:mrow> <a:mo>)</a:mo> </a:mrow> <a:mo>=</a:mo> <a:mn>0.</a:mn> </a:mtd> </a:mtr> </a:mtable> </a:math> We introduce new monotonicity properties of the non-oscillatory solutions of these equations, which are then used to linearize the equations and derive new oscillatory criteria. The presented results significantly improve upon existing criteria.