Convergence rate of the weighted conformal mean curvature flow

In this article, we study the convergence rate of the following Yamabe-type flow <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mspace width="0.33em"/> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mtext>in</m:mtext> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mspace width="0.33em"/> <m:mi>M</m:mi> <m:mspace width="1em"/> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mtext>and</m:mtext> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mspace width="1em"/> <m:mfenced open="{" close=""> <m:mrow> <m:mtable displaystyle="true"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mo>∂</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∂</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mi>g</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>2</m:mn> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>h</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mo>−</m:mo> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>H</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>g</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mo>∂</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∂</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mi>m</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>H</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mo>−</m:mo> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>h</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> </m:mtable> </m:mrow> </m:mfenced> <m:mspace width="0.33em"/> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mtext>on</m:mtext> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mspace width="0.33em"/> <m:mo>∂</m:mo> <m:mi>M</m:mi> </m:math> {R}φ (t)ᵐ=0{0.33em}{0.1em}in{0.1em}{0.33em}M{1em}{0.1em}and{0.1em}{1em}\{{array}{l}∂ /∂ tg(t)=2({h}φ (t)ᵐ-{H}φ (t)ᵐ)g(t)\\ ∂ /∂ tφ (t)=m({H}φ (t)ᵐ-{h}φ (t)ᵐ){array}.{0.33em}{0.1em}on{0.1em}{0.33em}∂ M on a smooth metric measure space with boundary <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>M</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>g</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>e</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:msup> <m:mi mathvariant="normal">d</m:mi> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>V</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>g</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>e</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:msup> <m:mi mathvariant="normal">d</m:mi> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>A</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>g</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> (M,g(t),{e}-φ (t){d}{V}g(t),{e}-φ (t){d}{A}g(t),m) , where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> </m:math> {R}φ (t)ᵐ is the weighted scalar curvature, <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>H</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> </m:math> {H}φ (t)ᵐ is the weighted mean curvature, and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>h</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> </m:math> {h}φ (t)ᵐ is the average of the weighted mean curvature.