Chemotaxis-consumption system with Robin boundary conditions coupled to the (Navier–)Stokes equations

In this paper, we consider the chemotaxis-consumption system on a bounded smooth domain <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo>⊂</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>2,3</m:mn> </m:math> Ω⊂ Rⁿ,n=2,3 , with fluid coupling <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mfenced open="{" close=""> <m:mrow> <m:mtable class="cases"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>ρ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>⋅</m:mo> <m:mi>∇</m:mi> <m:mi>ρ</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>∇</m:mi> <m:mo>⋅</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>D</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>ρ</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>∇</m:mi> <m:mi>ρ</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mi>∇</m:mi> <m:mo>⋅</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>ρ</m:mi> <m:mi>S</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>ρ</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>c</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⋅</m:mo> <m:mi>∇</m:mi> <m:mi>c</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>⋅</m:mo> <m:mi>∇</m:mi> <m:mi>c</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> <m:mi>c</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>ρ</m:mi> <m:mi>c</m:mi> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>κ</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>⋅</m:mo> <m:mi>∇</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>∇</m:mi> <m:mi>π</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mi>ρ</m:mi> <m:mi>∇</m:mi> <m:mi mathvariant="normal">Φ</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1em"/> <m:mi>∇</m:mi> <m:mo>⋅</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr> </m:mtable> </m:mrow> </m:mfenced> </m:math> $${cases}ₜ+u· ∇ ρ -∇ · (D(ρ )∇ ρ )=∇ · (ρ S(x,ρ ,c)· ∇ c), \\ u· ∇ c-{Δ}c=-ρ c, \\ {u}ₜ+κ (u· ∇ )u-{Δ}u+∇ π =ρ ∇ {Φ}, ∇ · u=0, {cases}$$ subject to the boundary conditions ν ⋅ ( D ( ρ )∇ ρ + ρS ( x , ρ , c )∇ c )| ∂Ω = 0, ( ν ⋅ ∇ c + c )| ∂Ω = γ