The SU(26) Dimension Polynomial — Complete Analytical Proof of Finiteness of Prime Values and Full Classification

Complete analytical proof of the finiteness of the set of prime values of the exact dimension polynomial n(k) = (103k⁴ − 370k³ + 101k² + 478k)/12, which generates the hierarchy of gauge groups in the Σ-Ω⁴ theory. The polynomial is defined axiomatically as an independent mathematical object and is motivated by the splitting structure of gauge group dimensions: 58 = 26 + 32 → SU(58) ⊃ SU(26)×SU(32)×U(1), 26 = 6 + 20 → SU(26) ⊃ SU(6)×SU(20). MAIN RESULT: Complete analytical proof that n(k)/2 is composite for all k ≥ 13. The set of prime values is finite and equals {1, 2, 3, 6, 12}. The proof is based on the classification of 24 residue classes k mod 24 and the construction of a universal factorization of n(k)/2 into a product of two integers, each strictly greater than 1 for k ≥ 13. FULL CLASSIFICATION (8 prime values for all d | 12):• d=2: k ∈ {1, 2, 3, 6, 12} (5 values)• d=6: k ∈ {9, 36} (2 values)• d=8: k ∈ {16} (1 value)• d ∈ {1, 3, 4, 12, 24}: no prime values ADDITIONAL RESULTS:• Uniqueness among 30 simple Lie algebras of rank ≤ 8• Mod 24 filter: ω(p) = 0 for 65.7% of primes (asymptotically)• All four coefficients expressed via Betti numbers of BSU(n)• Elliptic curve: Y² = X³ − 35230X + 2602065, new (not in LMFDB)• Ramanujan connection: n(−4) = 4146 = 2·3·691• Froggatt–Nielsen parameter: ε_FN = 0.31708165 (0.269% from 1/√10) Full source code: ~700 lines, Python 3.11, execution time ~10 seconds. Deterministically reproducible. ------------- Полное аналитическое доказательство конечности множества простых значений точного полинома размерностей n(k) = (103k⁴ − 370k³ + 101k² + 478k)/12, порождающего иерархию калибровочных групп в Σ-Ω⁴ теории. Полином определён аксиоматически и мотивирован разбиениями размерностей: 58 = 26 + 32 → SU(58) ⊃ SU(26)×SU(32)×U(1), 26 = 6 + 20 → SU(26) ⊃ SU(6)×SU(20). ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ: Полное аналитическое доказательство того, что n(k)/2 является составным для всех k ≥ 13. Множество простых значений конечно и равно {1, 2, 3, 6, 12}. Доказательство основано на классификации 24 классов вычетов k mod 24 и построении универсальной факторизации n(k)/2 в произведение двух целых сомножителей, каждый из которых строго больше 1 при k ≥ 13. ПОЛНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ (8 простых значений для всех d | 12):• d=2: k ∈ {1, 2, 3, 6, 12} (5 значений)• d=6: k ∈ {9, 36} (2 значения)• d=8: k ∈ {16} (1 значение)• d ∈ {1, 3, 4, 12, 24}: простых значений нет ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:• Уникальность среди 30 простых алгебр Ли ранга ≤ 8• Mod 24 фильтр: ω(p) = 0 для 65.7% простых чисел (асимптотически)• Все четыре коэффициента выражены через числа Бетти BSU(n)• Эллиптическая кривая: Y² = X³ − 35230X + 2602065, новая (не в LMFDB)• Связь с Рамануджаном: n(−4) = 4146 = 2·3·691• Параметр Фроггатта–Нильсена: ε_FN = 0.31708165 (отклонение 0.269% от 1/√10) Полный исходный код: ~700 строк, Python 3.11, время выполнения ~10 секунд. Детерминированно воспроизводится.