Causal Differential and Integral Calculus: A Typed History-Measure and RETURN Architecture

Causal Differential and Integral Calculus: A Typed History-Measure and RETURN Architecture This release presents the sealed mathematical dossier of the Causal Differential and Integral Calculus developed within Causal Theory (CT), together with its minimal peer-review submission kernel and reproducibility package. The framework assigns a positive causal history measure (μ_C) to a typed history, combining continuous activity with discrete event atoms. For a bounded-variation observable (F∘ X), the causal differential is defined as the Stieltjes measure [d_C F = d(F∘ X),] and, whenever (d_C F μ_C), the causal derivative is the Radon–Nikodym density [D_C F=d(F∘ X)/dμ_C.] Integration is performed against the same owner measure (μ_C), providing a unified formal language for continuous and atomic variation. The work does not claim the Radon–Nikodym/Stieltjes operator itself as a new mathematical construction. A dedicated prior-art audit identified direct connections with measure and Stieltjes calculus, path-signature theory, metric entropy, rate–distortion theory, and checkpointing. The proposed contribution is instead the integrated architecture linking typed history measures to explicit authority rules, reconstruction residues, RETURN contracts, carrier provenance, memory loss, replay requirements, and falsification gates. A subsequent adversarial proof audit identified and corrected over-broad claims involving chronology fibres, positive-energy signs, entropy identities, checkpoint equalization, and representation-relative replay minimality. These corrections are incorporated into the final formulation. The package includes the English and French submission manuscripts, complete cumulative monographs, LaTeX sources, a claim–theorem–proof–test matrix, counterexample and correction registries, deterministic reproduction examples, bibliography lock, build information, PDF preflight checks, and SHA-256 integrity manifests. PASS032 introduces no new mathematical rail. It constitutes the terminal internal reproducibility and submission seal of the project. Internal status: SEALED FOR PEER REVIEW. External peer review is still required. Claims concerning universal physical realization of the formalism, including operational calibration of the Son unit, remain outside the mathematical closure presented here and require independent holdout testing, comparable baselines, replication, and physical calibration. Calcul différentiel et intégral causal : une architecture typée de mesure d’histoire et de RETURN Cette publication présente le dossier mathématique scellé du Calcul différentiel et intégral causal développé dans le cadre de la Théorie causale (CT), ainsi que son noyau minimal destiné à l’évaluation par les pairs et son paquet de reproductibilité. Le formalisme associe à une histoire typée une mesure positive d’histoire causale (μ_C), capable de porter simultanément une activité continue et des atomes correspondant aux événements discrets. Pour un observable de variation bornée (F∘ X), le différentiel causal est défini comme la mesure de Stieltjes [d_C F=d(F∘ X),] et, lorsque (d_C Fμ_C), la dérivée causale est la densité de Radon–Nikodym [D_C F=d(F∘ X)/dμ_C.] L’intégration s’effectue relativement à la même mesure propriétaire (μ_C), fournissant ainsi un langage formel unique pour les variations continues et atomiques. Le travail ne revendique pas l’opérateur de Radon–Nikodym/Stieltjes lui-même comme une nouvelle construction mathématique fondamentale. Un audit spécifique de l’art antérieur a établi des recouvrements directs avec le calcul de mesure et de Stieltjes, la théorie des signatures de chemins, l’entropie métrique, la théorie rate–distortion et le checkpointing. La contribution proposée porte plutôt sur leur intégration dans une architecture typée reliant mesure d’histoire, règles d’autorité, résidus de reconstruction, contrats de RETURN, provenance des carriers, perte de mémoire, exigences de replay et portes de falsification. Un audit adversarial ultérieur a identifié et corrigé plusieurs formulations trop larges concernant notamment les fibres chronologiques, le signe de l’énergie positive, certaines identités entropiques, l’égalisation des checkpoints et la minimalité du replay relativement à une famille de représentations. Ces corrections sont directement incorporées à la formulation finale. Le paquet comprend les manuscrits de soumission français et anglais, les monographies cumulatives complètes, les sources LaTeX, une matrice claim–théorème–preuve–test, les registres de contre-exemples et de corrections, des exemples reproductibles déterministes, le verrou bibliographique, l’environnement de compilation, les contrôles PDF et les manifestes d’intégrité SHA-256. PASS032 n’introduit aucun nouveau rail mathématique. Elle constitue le scellement terminal interne de reproductibilité et de soumission du projet. Statut interne : SEALED FOR PEER REVIEW. L’évaluation externe par les pairs demeure nécessaire. Les revendications concernant une réalisation physique universelle du formalisme, notamment la calibration opérationnelle de l’unité Son, restent hors de la clôture mathématique présentée ici et nécessitent des tests holdout indépendants, des baselines comparables, une réplication et une calibration physique.