The Causal Triangle — Volume II: Tensor–Detensor Geometry, Hyperqubit, HyperTriangle, Causal Closure, and the 2SIN/1COS RETURN Framework

The Causal Triangle — Volume II Abstract This second volume develops a cumulative mathematical and computational framework for causal geometry, dynamic coherence, structural closure, and the reconstruction of causal histories within the broader Causal Theory research programme. The study investigates how a fixed external causal geometry can support multiple internal configurations while preserving identity, relational structure, orientation, and the information required for exact reconstruction. Its principal developments include: Causal geometry SU1–SU7: a structured hierarchy of causal roles involving identity, relations, manifestation, time, closure, and higher-order geometric transport. Fixed SU5 geometry: a 118 × 26 coordinate structure supporting two distinct 144-position SIN readings without modifying the underlying geometric carrier. Dynamic SU4 configurations: right and equilateral triangles, a fixed incircle, and a tritangent ellipse, studied through contact geometry, proportional transformations, and invariant constraints. Tensor–detensor duality: complementary rank-three and rank-one geometric structures, coframe reconstruction, rotation, and orientation-preserving transformations. Hyperqubit and HyperTriangle integration: the reconstruction of signed states, amplitudes, causal frames, and transported relationships. 2SIN/1COS closure: two independently preserved causal histories connected to a common terminal candidate through a direct COS route. Holonomy and RETURN: noncommutative transport, ordered inverses, information-loss analysis, and reconstruction certificates. The volume also examines connections with chemical structure, electronic configurations, prime-number representations, the Golden Field, and the Causal Solution framework. Exact symbolic identities, finite computational experiments, adversarial controls, and reproducible verification programmes support the mathematical results within their explicitly declared models. The combined tensor–detensor, Hyperqubit, HyperTriangle, SIN/COS, and RETURN construction achieves internal formal closure in its tested mathematical setting. The final research passes establish interfaces with the Causal Solution and audit the existing AC136 Causal Solver, preparing the specification of a future Causal Triangle auxiliary module. Scientific scope This work proposes and evaluates an original mathematical framework. Internal formal closure and computational verification are distinguished from independent experimental validation, universal physical laws, and proofs for arbitrary scientific problems. Connections to chemistry, number theory, and computational complexity are classified according to their demonstrated mathematical scope. The publication preserves the cumulative development, source provenance, mathematical certificates, executable verification tools, and explicitly documented limitations. Author: Son David Bolduc Edition: Volume II — Cumulative research through PASS057, October 2026. Le Triangle causal — Volume II Résumé Ce deuxième volume développe un cadre mathématique et computationnel cumulatif consacré à la géométrie causale, à la cohérence dynamique, à la fermeture structurelle et à la reconstruction des histoires causales au sein du programme de recherche de la Théorie causale. L'étude examine comment une géométrie causale extérieure fixe peut accueillir différentes configurations intérieures tout en préservant l'identité, les relations, l'orientation et les informations nécessaires à une reconstruction exacte. Ses principales contributions comprennent : Géométrie causale SU1–SU7 : organisation hiérarchique des fonctions causales liées à l'identité, aux relations, à la manifestation, au temps, à la fermeture et aux transports géométriques d'ordre supérieur. Géométrie SU5 fixe : structure de 118 × 26 coordonnées permettant deux lectures SIN distinctes de 144 positions sans modifier le porteur géométrique. Configurations SU4 dynamiques : triangles rectangle et équilatéral, cercle inscrit fixe et ellipse tritangente, étudiés à travers les contacts, les transformations proportionnelles et les contraintes invariantes. Dualité tenseur–détenseur : structures géométriques complémentaires de rangs trois et un, reconstruction des repères, rotation et transformations préservant l'orientation. Intégration de l'Hyperqubit et de l'HyperTriangle : reconstruction des états signés, des amplitudes, des repères causaux et de leurs relations transportées. Fermeture 2SIN/1COS : conservation de deux histoires causales distinctes et raccordement à un terminal commun candidat au moyen d'un chemin COS direct. Holonomie et RETURN : transports non commutatifs, inversions ordonnées, analyse des pertes d'information et certificats de reconstruction. Le volume étudie également les relations avec la structure chimique, les configurations électroniques, les représentations des nombres premiers, le Champ doré et la Solution causale. Des identités symboliques exactes, des expériences computationnelles finies, des contrôles adversariaux et des programmes de vérification reproductibles soutiennent les résultats mathématiques dans leurs modèles explicitement définis. La construction conjointe tenseur–détenseur, Hyperqubit, HyperTriangle, SIN/COS et RETURN atteint une fermeture formelle interne dans le cadre mathématique testé. Les dernières passes établissent les interfaces avec la Solution causale et examinent le Solveur causal AC136 existant, afin de préparer la spécification d'un futur module auxiliaire du Triangle causal. Portée scientifique Ce travail propose et examine un cadre mathématique original. La fermeture formelle interne et les vérifications computationnelles sont distinguées de la validation expérimentale indépendante, des lois physiques universelles et des preuves applicables à tous les problèmes scientifiques. Les liens avec la chimie, la théorie des nombres et la complexité computationnelle sont classés selon leur portée mathématique démontrée. La publication conserve le développement cumulatif, la provenance des sources, les certificats mathématiques, les programmes de vérification exécutables et les limites explicitement documentées. Auteur : Son David Bolduc Édition : Volume II — Recherche cumulative jusqu'à PASS057, octobre 2026.