Extended Triptych V5 — Madelung decomposition, gauge structure and fermionic spectrum in ℤ[√2], ℚ(√5), ℚ(√6)

EN description : The Extended Triptych (TE) derives the fundamental constants of the Standard Model from a complex scalar field in curved spacetime with conformal coupling ξ*=1/6. The gauge structures U(1)×SU(2)×SU(3), the fermionic spectrum and mixing angles emerge algebraically from the fields ℤ[√2], ℚ(√5) and ℚ(√6). Single external input: v=246.22 GeV. TE V5 establishes: closure of O1–O3 [exact algebraic identities, SymPy], partial resolution of O4 (12 exact identities, CKM triangle in ℤ[√2], 6 quarks from v with Δ≤4.1%, Theorem G [conditional]), new identity √2·σ_gold=√φ [EXACT], and assessment of the coupled FRGE study for deriving v from TC cosmology (reduction to the electroweak hierarchy problem within the truncations explored, §22.2). Description FR : Le Triptyque Étendu (TE) dérive les constantes fondamentales du Modèle Standard depuis un champ scalaire complexe en espace-temps courbe avec couplage conforme ξ*=1/6. Les structures de jauge U(1)×SU(2)×SU(3), le spectre fermionique et les angles de mélange émergent algébriquement des corps ℤ[√2], ℚ(√5) et ℚ(√6). Entrée externe unique : v=246.22 GeV. TE V5 établit : fermeture de O1–O3 [identités algébriques exactes, SymPy], résolution partielle de O4 (12 identités exactes, triangle CKM dans ℤ[√2], 6 quarks depuis v avec Δ≤4.1%, Théorème G [conditionnel]), identité nouvelle √2·σ_gold=√φ [EXACT], et bilan de l’étude FRGE couplée pour la dérivation de v depuis la cosmologie TC (réduction au problème de hiérarchie électrofaible dans les troncatures explorées, §22.2).