Extended Triptych V4 — Madelung decomposition, gauge structure U(1)×SU(2)×SU(3), fermionic spectrum and fine-structure constant in the fields ℤ[√2], Q(√5) and Q(√6)

EN description : The Extended Triptych (TE) derives the fundamental constants of the Standard Model from the Madelung decomposition ψ=√ρ·eiS of a complex scalar field in curved spacetime, with conformal coupling ξ*=1/6 (Theorem T — Parker-Toms UV fixed point, 1985). All gauge coupling constants are algebraic numbers in the quadratic fields ℤ[√2], Q(√5) and Q(√6), whose hierarchy corresponds exactly to the hierarchy of physical sectors.This version V4 establishes four new results: (i) Theorem T_II derives sin²θ_W=(2−√2)/4 as the unique solution in ℤ[√2] of the TC conditions (I)(III)(IV)(T_t); (ii) the Koide NLO correction δ=θ_C(1−F), F∈Q(√5,√6), predicts the leptonic phase angle to 0.018% with no free parameter; (iii) the Parker-Toms decomposition traces the origin of ω_TC=N_c²V_min/d back to ξ*=1/6 and H²=V_min·k²; (iv) the exact TT trace I=10/9 identifies the algebraic condition for the conjecture 1/α_em*=b₁/f_F−d·f_F ≈ 137.041 (0.004% agreement). Each result carries an explicit epistemic label: [EXACT], [THEOREM], [DERIVED], [ANSATZ-DEP.], [CONJECTURE], [OPEN]. All algebraic identities are symbolically verified by SymPy (28/28). Description FR : Le Triptyque Étendu (TE) dérive les constantes fondamentales du Modèle Standard depuis la décomposition de Madelung ψ=√ρ·eiS d’un champ scalaire complexe en espace-temps courbe, avec couplage conforme ξ*=1/6 (Théorème T — point fixe UV de Parker-Toms, 1985). Toutes les constantes de couplage de jauge sont des nombres algébriques dans les corps quadratiques ℤ[√2], Q(√5) et Q(√6), dont la hiérarchie correspond exactement à la hiérarchie des secteurs physiques.Cette version V4 établit quatre résultats nouveaux : (i) le Théorème T_II dérive sin²θ_W=(2−√2)/4 comme unique solution dans ℤ[√2] des conditions (I)(III)(IV)(T_t) du TC ; (ii) la correction de Koide NLO δ=θ_C(1−F), F∈Q(√5,√6), prédit l’angle de phase leptonique à 0,018% sans paramètre libre ; (iii) la décomposition Parker-Toms trace l’origine de ω_TC=N_c²V_min/d jusqu’à ξ*=1/6 et H²=V_min·k² ; (iv) la trace TT exacte I=10/9 identifie la condition algébrique pour la conjecture 1/α_em*=b₁/f_F−d·f_F ≈ 137,041 (accord 0,004%). Chaque résultat porte une étiquette épistémique explicite : [EXACT], [THÉORÈME], [DÉRIVÉ], [ANSATZ-DEP.], [CONJECTURE], [OUVERT]. Les identités algébriques sont vérifiées symboliquement par SymPy (28/28).