Heuristic Synthesis of Highly Abundant Numbers via Entropy-Based Exponent Allocation

Аннотация / Abstract RU: В работе исследуется задача быстрого алгоритмического конструирования натуральных чисел с экстремально высоким отношением суммы делителей к самому числу σ(n)/n в контексте критерия Робина для гипотезы Римана. Вместо трудоемкой логарифмической оптимизации каждого простого множителя, требуемой для построения классических суперизбыточных и высокоизбыточных чисел (SA/HA-чисел), предложен информационно-энтропийный подход на основе функции энтропии делителей H(N) = log₂ τ(N). Проведен сравнительный вычислительный эксперимент на масштабе N ≈ 10³⁶ для четырех моделей распределения степеней: классического праймориала, шаблона Золотого Сечения, троичного шаблона (3k : 2k : k) и двухступенчатого энтропийного каскада. Показано, что базовый троичный шаблон достигает 97.04% от эталонного высокоизбыточного числа на данном масштабе (σ(N)/N = 7.4396 против 7.6665), а введение порога логарифмического насыщения для средних простых множителей повышает точность генерации до 100%, полностью воспроизводя структуру эталонного SA-числа за один вычислительный шаг. EN: This paper investigates the problem of rapid algorithmic construction of natural numbers with an extremely high sum-of-divisors ratio σ(n)/n in the context of Robin's criterion for the Riemann Hypothesis. Instead of the computationally intensive logarithmic optimization of each prime factor required to construct classical superabundant and highly abundant (SA/HA) numbers, we propose an information-entropy approach based on the divisor entropy function H(N) = log₂ τ(N). A comparative computational experiment at the scale N ≈ 10³⁶ is conducted for four exponent allocation models: the classical primorial, the Golden Ratio template, the trinary template (3k : 2k : k), and a two-stage entropy cascade. It is demonstrated that the baseline trinary template achieves 97.04% of the benchmark superabundant number at this scale (σ(N)/N = 7.4396 versus 7.6665), while introducing a logarithmic saturation threshold for intermediate prime factors increases synthesis accuracy to 100%, fully reproducing the structure of the benchmark SA number in a single computational step.