Deterministic Generation of Prime Gaps Based on Highly Composite Filters and Trinary Quantization

Аннотация / Abstract RU: В развитие цикла работ по информационно-энтропийному анализу делителей (DOI: 10.5281/zenodo.24197411 и DOI: 10.5281/zenodo.2419798) в настоящей статье исследуется механизм формирования детерминированных интервалов (лакун) между соседними простыми числами g_n = pₙ₊₁ − p_n в окрестности высокосоставных чисел-фильтров на макромасштабе 10³⁶–10³⁷. С помощью точного детерминированного теста простоты Миллера — Рабина проведён сравнительный вычислительный эксперимент для пяти структурных моделей: случайного контрольного числа, шаблона Золотого Сечения (2⁷⁴ · 3¹⁸ · 5⁵ · 7 · 11), троичного ядра с праймориальным хвостом (2¹⁸ · 3⁹ · 5³ · ∏7≤p≤71 p¹), энтропийного каскада и классического праймориала (p ≤ 97). Установлено, что троичный шаблон создаёт вокруг себя беспростую лакуну шириной 216 единиц (в 2.53 раза выше среднего локального шага ln N ≈ 85.38), а классический праймориал — лакуну шириной 354 единицы (в 4.23 раза выше среднего шага), оставаясь при этом строго внутри верхней теоретической границы Крамера — Гранвиля (2·e^γ·ln² N ≈ 25 965). Выявлен фундаментальный дуализм оптимизации: энтропийный каскад максимизирует сумму делителей σ(N)/N, тогда как праймориальные и троичные фильтры максимизируют ширину локального «числового вакуума». EN: Extending our research series on information-entropy divisor analysis (DOI: 10.5281/zenodo.24197411 and DOI: 10.5281/zenodo.2419798), this paper investigates the mechanism of deterministic prime gap generation g_n = pₙ₊₁ − p_n in the neighborhood of highly composite filter numbers at the 10³⁶–10³⁷ macro-scale. Using an exact deterministic Miller–Rabin primality test, we conduct a comparative computational experiment across five structural models: an unstructured random odd integer, the Golden Ratio template (2⁷⁴ · 3¹⁸ · 5⁵ · 7 · 11), a trinary core with a primorial tail (2¹⁸ · 3⁹ · 5³ · ∏7≤p≤71 p¹), the two-stage entropy cascade, and a classical primorial (p ≤ 97). We demonstrate that the trinary core generates a continuous prime-free lacuna of 216 units (2.53 times the average local step ln N ≈ 85.38), while the classical primorial yields a gap of 354 units (4.23 times the average step), remaining strictly within the theoretical Cramér–Granville upper bound (2·e^γ·ln² N ≈ 25,965). The results reveal a fundamental optimization duality: whereas the entropy cascade maximizes the sum-of-divisors ratio σ(N)/N, primorial and trinary filters maximize the width of the local prime-free vacuum.