Entropy-Cascade Optimization of Residue Number Systems (Rns) for Post-Quantum and Homomorphic Cryptography

RU: В развитие цикла исследований по информационно-энтропийному анализу делителей (DOI: 10.5281/zenodo.24197411, DOI: 10.5281/zenodo.24199798 и последующих работ по детерминированным фильтрам DOI:10.5281/zenodo.24201513 & DOI:10.5281/zenodo.24202740) настоящая статья переносит математический аппарат двухступенчатого энтропийного каскада и праймориальных фильтров в область модулярной арифметики — Системы остаточных классов (СОК / RNS), составляющей вычислительное ядро постквантовой криптографии на решётках и полностью гомоморфного шифрования (FHE). Проведён сравнительный вычислительный эксперимент на динамических диапазонах 512 бит и 1024 бита для четырёх архитектур модулярных базисов: стандартного 32-битного RNS, тройного степенного базиса (2^n ± 1, 2^n), классического праймориального базиса и предложенного энтропийно-каскадного базиса RNS (m_i = p_i^(α_i), сбалансированного по ширине ≤ 10 бит). Экспериментально доказано, что энтропийно-каскадный базис обеспечивает 100-процентную защиту от переполнения 32-битных машинных слов при гомоморфных свёртках (максимальная ширина канала 9–10 бит при пороге 15 бит), достигает максимальной энтропии делителей базиса (78.30 бит на масштабе 512 бит и 135.34 бит на масштабе 1024 бит) и превосходит чистый праймориальный базис по скорости полиномиальных свёрток на 13.6% (512 бит) и 11.3% (1024 бит), ускоряя сборку по Китайской теореме об остатках (КТО) на масштабе 512 бит в 1.99 раза. EN: Extending our research series on information-entropy divisor analysis (DOI: 10.5281/zenodo.24197411, DOI: 10.5281/zenodo.24199798, and subsequent studies on deterministic prime filters DOI:10.5281/zenodo.24201513 & DOI:10.5281/zenodo.24202740), this paper transfers the mathematical framework of the two-stage entropy cascade and primorial sieves into modular arithmetic—specifically Residue Number Systems (RNS), which form the computational core of lattice-based post-quantum cryptography and Fully Homomorphic Encryption (FHE). A comparative computational benchmark at 512-bit and 1024-bit dynamic ranges was conducted across four modular basis architectures: standard 32-bit prime RNS, triple power-of-two basis (2^n ± 1, 2^n), classical primorial RNS, and the proposed Entropy-Cascade RNS basis (m_i = p_i^(α_i), bit-width balanced to ≤ 10 bits). Experimental results demonstrate that the Entropy-Cascade RNS guarantees 100% overflow immunity in 32-bit machine words during homomorphic convolutions (maximum channel width of 9–10 bits well below the 15-bit uint32 threshold), maximizes basis divisor entropy (78.30 bits at 512-bit scale and 135.34 bits at 1024-bit scale), outperforms pure primorial RNS in polynomial convolution latency by 13.6% (512-bit) and 11.3% (1024-bit), and accelerates Chinese Remainder Theorem (CRT) reconstruction by 1.99x at the 512-bit scale.