Superlinear Schrödinger–Kirchhoff type problems involving the fractional p–Laplacian and critical exponent

This paper concerns the existence and multiplicity of solutions for the Schrődinger–Kirchhoff type problems involving the fractional p –Laplacian and critical exponent. As a particular case, we study the following degenerate Kirchhoff-type nonlocal problem: <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mtable columnalign="left"> <m:mtr> <m:mtd> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mo>‖</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>‖</m:mo> </m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>θ</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mrow> <m:mo>[</m:mo> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mi>s</m:mi> </m:msubsup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>V</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>|</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>]</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mi>p</m:mi> <m:mi>s</m:mi> <m:mo>⋆</m:mo> </m:msubsup> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>f</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mtext> </m:mtext> <m:mi>i</m:mi> <m:mi>n</m:mi> <m:mtext> </m:mtext> <m:msup> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mi>N</m:mi> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd> <m:msub> <m:mrow> <m:mo>‖</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>‖</m:mo> </m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> </m:msub> <m:mo>=</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> <m:mstyle displaystyle="true"> <m:mrow> <m:munder> <m:mo>∫</m:mo> <m:mi>ℝ</m:mi> </m:munder> <m:mrow> <m:mstyle displaystyle="true"> <m:mrow> <m:munder> <m:mo>∫</m:mo> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> </m:munder> <m:mrow> <m:mfrac> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>|</m:mo> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow>